Ortogonalidade

Um ângulo reto pode ser definido como um quarto de volta. A geometria cartesiana escolhe arbitrariamente direções ortogonais através do espaço que se constituem em ângulos retos entre si. Três dimensões ortogonais do espaço são conhecidas como comprimento, largura e altura. Portanto, a quarta dimensão é a direção no espaço que está em ângulo reto com estas três dimensões observáveis.

Um "espaço vetorial" é um conjunto de vetores, que podemos imaginar como flechas presas num determinado lugar do espaço (chamado de origem) e que apontam para outros lugares.
Um "ponto" é um objeto com zero dimensão. Não tem extensão no espaço, nem propriedades. Se pensarmos neste ponto como um vetor geométrico, como uma flecha, ele não teria comprimento. Este vetor é chamado de vetor zero e, por si mesmo, constitui-se no vetor espacial mais simples.
Uma "linha" é um objeto unidimensional. Se puxarmos um vetor não-zero em alguma direção, ele terá um comprimento definido. Este vetor tem a "cabeça" em algum ponto no espaço e a "cauda" na origem. Se pensarmos em esticar este vetor duas, três vezes e assim por diante, de modo que ele assuma todos os comprimentos possíveis (mesmo "zero", para obter o vetor zero), teremos uma linha única com uma dimensão de comprimento. Todos os vetores que descrevem pontos nesta linha são ditos como sendo "paralelos" um ao outro. E mesmo que qualquer linha que possamos desenhar tenha alguma espessura mínima (para que possamos vê-la), esta linha idealizada não a possui.
Um "plano" é um objeto bidimensional. Ele tem comprimento e largura mas não espessura — algo como uma folha de papel (mas mesmo o papel tem alguma espessura). Pensar num plano em termo de vetores é um pouco mais complicado. Se imaginarmos pegar um vetor e movê-lo de modo que sua "cauda" tocasse a "cabeça" do antecedente e formasse um vetor com sua "cauda" na origem e a "cabeça" na "cabeça" do segundo vetor reposicionado, teremos um modo razoável de falar sobre soma de vetores. Se tivermos dois vetores que não sejam paralelos, poderemos falar de todos os pontos que podemos atingir esticando um ou nenhum dos vetores e, somando estes vetores em conjunto, seus pontos formarão um plano.
O espaço, tal como o percebemos, é tridimensional. Imaginemos colocar uma linha num plano. Ambos estão "juntados" como num sanduíche. Para ir para um determinado ponto no espaço, podemos imaginar viajar ao longo da linha e então se mover através do plano até o ponto. Temos então três vetores para considerar, um para viajar até certa distância ao longo da linha e dois para atingir um determinado ponto no espaço.
A quarta dimensão, então, pode ser descrita como a "junção" de vários espaços tridimensionais numa linha. Para atingir um ponto determinado no espaço quadridimensional, viaja-se ao longo de espaços tridimensionais e também através da quarta dimensão. A quantidade total de vetores envolvidos é quatro.