Para fazer o salto de três para quatro dimensões, emprega-se comumente um truque denominado "analogia dimensional". Analogia dimensional é estudar como (n – 1) dimensões se relacionam com "n" dimensões e então deduzir como “n” dimensões se relacionariam com (n + 1) dimensões.
Por exemplo, no livro Flatland ("Planolândia - um romance de muitas dimensões"), Edwin Abbott escreve sobre um certo Sr. Quadrado que vive num mundo bidimensional, como a superfície de uma folha de papel. Um ser tridimensional (uma esfera) surge em seu mundo e parece (do ponto de vista do "chatalandês") ter poderes quase divinos: é capaz de tirar objetos de dentro de um cofre sem abrí-lo (ou seja, movendo-o através da terceira dimensão), ver através das paredes (bidimensionais) e ficar completamente invisível apenas movendo-se umas poucas polegadas na terceira dimensão. Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se deduzir que um ente quadridimensional seria capaz de feitos similares da nossa perspectiva tridimensional. Rudy Rucker demonstra isto em seu romance "Spaceland", na qual o protagonista encontra seres quadridimensionais que demonstram tais poderes.
Uma aplicação útil da analogia dimensional em visualizar a quarta dimensão está na projeção. Uma projeção é um modo de representar um objeto n-dimensional em n − 1 dimensões. Por exemplo, telas de computador são bidimensionais, e todas as fotografias de pessoas, coisas e lugares tridimensionais são representadas em duas dimensões removendo-se a informação sobre a terceira dimensão. Neste caso, a profundidade é removida e substituída por informação indireta. A retina do olho é uma matriz de receptores bidimensional, mas ela permite que o cérebro perceba a natureza de objetos tridimensionais usando informações indiretas (tais como sombreado, perspectiva, visão binocular etc) para dar profundidade tridimensional a imagens bidimensionais.
De forma similar, objetos na quarta dimensão podem ser matematicamente projetados nas 3 dimensões familiares, onde elas podem ser então mais convenientemente examinadas. Neste caso, a "retina" do olho quadridimensional é uma matriz de receptores tridimensionais. Um ser hipotético com tal visão poderia perceber a natureza de objetos quadridimensionais usando informações indiretas contidas na imagem que recebe em sua retina. A projeção em quatro dimensões produz efeitos semelhantes às do caso tridimensional, tais como perspectiva. Isto acrescenta profundidade quadridimensional à estas imagens.
Por exemplo, no livro Flatland ("Planolândia - um romance de muitas dimensões"), Edwin Abbott escreve sobre um certo Sr. Quadrado que vive num mundo bidimensional, como a superfície de uma folha de papel. Um ser tridimensional (uma esfera) surge em seu mundo e parece (do ponto de vista do "chatalandês") ter poderes quase divinos: é capaz de tirar objetos de dentro de um cofre sem abrí-lo (ou seja, movendo-o através da terceira dimensão), ver através das paredes (bidimensionais) e ficar completamente invisível apenas movendo-se umas poucas polegadas na terceira dimensão. Ao aplicar a analogia dimensional, pode-se deduzir que um ente quadridimensional seria capaz de feitos similares da nossa perspectiva tridimensional. Rudy Rucker demonstra isto em seu romance "Spaceland", na qual o protagonista encontra seres quadridimensionais que demonstram tais poderes.
Uma aplicação útil da analogia dimensional em visualizar a quarta dimensão está na projeção. Uma projeção é um modo de representar um objeto n-dimensional em n − 1 dimensões. Por exemplo, telas de computador são bidimensionais, e todas as fotografias de pessoas, coisas e lugares tridimensionais são representadas em duas dimensões removendo-se a informação sobre a terceira dimensão. Neste caso, a profundidade é removida e substituída por informação indireta. A retina do olho é uma matriz de receptores bidimensional, mas ela permite que o cérebro perceba a natureza de objetos tridimensionais usando informações indiretas (tais como sombreado, perspectiva, visão binocular etc) para dar profundidade tridimensional a imagens bidimensionais.
De forma similar, objetos na quarta dimensão podem ser matematicamente projetados nas 3 dimensões familiares, onde elas podem ser então mais convenientemente examinadas. Neste caso, a "retina" do olho quadridimensional é uma matriz de receptores tridimensionais. Um ser hipotético com tal visão poderia perceber a natureza de objetos quadridimensionais usando informações indiretas contidas na imagem que recebe em sua retina. A projeção em quatro dimensões produz efeitos semelhantes às do caso tridimensional, tais como perspectiva. Isto acrescenta profundidade quadridimensional à estas imagens.
Cubo com direções em quatro dimensões (ana/kata), criando um hipercubo.
A analogia dimensional também ajuda a entender tais projeções. Por exemplo, objetos bidimensionais são delimitados por limites unidimensionais: um quadrado é delimitado por quatro bordas. Objetos tridimensionais são delimitados por superfícies bidimensionais: um cubo é delimitado por 6 quadrados. Aplicando-se analogia dimensional, pode-se deduzir que um cubo quadridimensional, conhecido como tesseract, é delimitado por volumes tridimensionais. E realmente, este é o caso, matematicamente falando: o tesseract é delimitado por 8 cubos. Saber isto é a chave para compreender a interpretação tridimensional de uma projeção do tesseract. Os limites do tesseract projetam-se em "volumes" na imagem, não meramente em superfícies bidimensionais. Isto ajuda a entender características de tais projeções que, de outra forma, seriam muito intrigantes.
Igualmente, o conceito das sombras nos ajuda a entender melhor a teoria das quatro dimensões. Se você lançar uma luz sobre um objeto tridimensional, ele irá projetar uma sombra bidimensional. Logo, a luz que incide sobre um objeto bidimensional projetará uma sombra unidimensional (num mundo bidimensional), e a luz sobre um objeto unidimensional num mundo unidimensional projetará uma sombra zero-dimensional, ou seja, um ponto sem luz. Esta idéia pode ser usada em outra direção; uma luz lançada sobre um objeto quadridimensional projetará uma sombra em três dimensões.
Como exemplo disso, imagine-se que uma luz seja emitida através de um cubo de arame sobre uma superfície plana. A sombra resultante é a de um quadrado dentro de um quadrado com cada um dos lados conectados. Similarmente, se um cubo quadridimensional fosse iluminado "de cima", sua sombra seria a de um cubo tridimensional dentro de outro cubo tridimensional.
Seres tridimensionais são capazes unicamente de ver o mundo com seus olhos em duas dimensões; um ser quadridimensional veria o mundo em três. Assim, seria capaz de, por exemplo, ver os seis lados de uma caixa opaca simultaneamente. E não somente isso; simultaneamente, ele seria também capaz de ver o que está dentro da caixa, da mesma forma que em Flatland, onde a Esfera vê objetos no mundo bidimensional e tudo que está dentro deles, ao mesmo tempo. Analogamente, um observador quadridimensional veria todos os pontos em nosso espaço tridimensional simultaneamente, incluindo a estrutura interna de objetos e coisas sólidas, ocultas do nosso ponto-de-vista tridimensional.
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